Vektor normieren

Hier schauen wir uns an, wie man Vektoren normiert. Gleich unterhalb siehst du einen Rechner. Gib deinen Vektor einfach dort ein und er zeigt dir die Lösung mit Rechenweg an. Falls dein Vektor mehr oder weniger als drei Elemente hat, kannst du die Eingabefelder mit den Buttons "Ich brauche mehr Felder für meinen Vektor" und "Ich will weniger Felder" entsprechend anpassen. Unter den Rechnern erkläre ich, wie man Vektoren normiert. Was ihr gelernt habt könnt ihr anschließend mit den Übungsaufgaben testen. Viel Spass!

Rechner zum Normieren von Vektoren

Ich brauche mehr Felder für meinen Vektor Ich will weniger Felder Vektor normieren

Vektor normieren

Wenn man einen Vektor normiert, heisst dass, das man ihn auf die Länge 1 bringt. Dafür müssen wir erstmal wissen, was die Länge des Vektors ist. Schauen wir uns doch mal an einem Beispiel an, wie man die Länge eines Vektors berechnet. $$ v = \begin{pmatrix} 1 \\2 \\2 \end{pmatrix} $$ Das ist unser Vektor. Um nun die Länge zu bestimmen, berechnen wir den Betrag des Vektors. Dafür benutzen wir den Satz des Pythagoras. Die Koordinaten werden quadriert und addiert, von der Summe ziehen wir dann die Wurzel. $$ \lvert v\rvert = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 $$ Der Vektor hat also eine Länge von 3. Wenn ihr euch das bildlich vorstellen wollt: Der Betrag des Vektors ist die Länge des Pfeils im Koordinatensystem. Wenn euch die Erklärung zu kurz ist und ihr nochmal ausführlicher nachlesen wollt, wie man die Länge von Vektoren berechnet, schaut einfach hier vorbei: Länge von Vektoren berechnen Jetzt haben wir die Länge des Vektors berechnet. Unser Beispielvektor ist 3 Einheiten lang. Jetzt wollen wir ihn normieren, also unseren Vektor auf die Länge 1 zurechtstutzen. Dafür multiplizieren wir den Vektor einfach mit dem Kehrbruch seiner Länge. Wenn ihr euch an Bruchrechnen und das Dividieren von Brüchen erinnnert, wisst ihr das mit dem Kehrbruch multiplizieren, im Prinzip einer Division gleichkommt. Wir dividieren den Vektor also durch seine Länge. $$ \dfrac{1}{\lvert v\rvert }v = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\2 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\\frac{2}{3} \\\frac{2}{3} \end{pmatrix} $$ So, das war es auch schon. Nun habt ihr euren ersten Vektor normiert. Wenn ihr Blut geleckt habt und weitere Vektoren normieren wollt oder einfach für die Klausur üben wollt, empfehle ich euch die Übungsaufgaben gleich hier unten. Sollte das immer noch nicht genug sein, tobt euch mit dem Rechner aus. Viel Spass!

Übungsaufgaben Vektoren normieren